Problema do Girassol. Sem solução há 60 anos, começa finalmente a ser desvendado

O chamado Problema do Girassol, ou conjetura do Girassol, há décadas que intriga a comunidade científica. Uma equipa de investigadores deu um importante passo para o resolve

O girassol é uma flor particularmente espantosa se atentarmos, principalmente, às suas sementes. No núcleo do girassol há duas séries de curvas de sementes, cada uma para uma direção oposta — mas o número de curvas não é o mesmo nas duas séries.

Se a flor tiver 21 curvas para a esquerda, obrigatoriamente terá 34 para a direita. Se tiver 34 para um dos lados, terá 55 para o outro. Por sua vez, se tiver 55 curvas no sentido contrário aos ponteiros do relógio, 89 estarão para o lado oposto. Se já está a reconhecer algum padrão nisto é perfeitamente normal. Trata-se da sequência de Fibonacci.

Proporção divina, proporção áurea, número dourado. São vários os nomes usados para designar esta constante irracional, uma sequência infinita de dígitos que tende para o número 1,61803398875.

A sequência de Fibonacci é uma sucessão de números inteiros, começando por 0 e 1, na qual cada número é a soma dos dois anteriores. Depois do 0 e 1, a sequência prossegue com os números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… até ao infinito. E quando dividimos um número pelo anterior, obtemos a famosa constante dourada.

O Problema do Girassol

Conhecido como o Problema do Girassol, ou a Conjetura do Girassol, diz respeito à frequência com que esperaríamos encontrar padrões semelhantes a girassóis em grandes aglomerados de objetos. O problema foi inicialmente proposto em 1960 pelos matemáticos Paul Erdős e Richard Rado.

Agora, 60 anos depois, cientistas parecem ter começado a desvendar este problema, apesar de ainda não o terem solucionado completamente. A equipa de investigadores mostra como estruturas surpreendentemente complexas emergem da aleatoriedade.

“O artigo é uma nova manifestação de uma ideia matemática que será central no nosso tempo. O resultado por si só é espetacular”, salienta Gil Kalai, da Universidade de Jerusalém.

Inicialmente, para entenderem melhor a dinâmica do problema, Erdős e Rado visualizaram a Conjetura do Girassol num plano bidimensional. A Quanta Magazine explica que, primeiro, decidiram um número fixo de pontos que desejavam incluir em cada conjunto. De seguida, desenharam loops aleatoriamente de forma a cada loop, ou conjunto, abrangesse esse número de pontos.

Naturalmente, alguns destes loops acabaram por se sobrepor, com alguns pontos a acabarem por pertencer a mais do que um conjunto, quase como num diagrama de Venn.

O que Erdős e Rado notaram foi que uma estrutura fixa reinava no meio de todo o caos: três ou mais conjuntos sobrepõe-se em parte exatamente no mesmo subconjunto de pontos, e nenhum deles se sobrepõe a outros conjuntos.

Ao excluir o subconjunto comum de pontos, os três conjuntos ficam dispostos à volta de um vácuo, completamente separados um do outro. Desta forma, quantos mais loops fossem desenhados, inevitavelmente um girassol emergia.

“Se tivermos um objeto matemático grande o suficiente de alguma natureza, deve haver alguma estrutura oculta dentro dele”, explicou Shachar Lovett, coautor do estudo disponível para consulta no portal ArXiv.

No entanto, os dois matemáticos quiseram ir mais longe e descobrir quantos conjuntos (e de que tamanho) eram necessários para formar um girassol. Primeiramente definiram w como o número de pontos em cada conjunto e que eram precisos w^w conjuntos com tamanho w para formar um girassol feito de três conjuntos.

Posteriormente, equacionaram que o número de conjuntos necessário era muito menor do que w^w, mas não encontraram uma forma de o provar.

Apesar das várias tentativas ao longo dos anos, ninguém conseguiu fazer progressos significativos — pelo menos até agora. Uma equipa de matemáticos e cientistas de computação conseguiu descomplicar a conjuntura, através de dois cenários possíveis.

No primeiro, começaram por questionar-se se existe um conjunto de pontos que é comum a uma grande fração do total de conjuntos. Depois de o fazerem, restringiram a procura de um girassol à fração do total de conjuntos que contem esse conjunto de pontos.

No segundo, verificaram o que acontecia quando os conjuntos não se sobrepunham muito. Nestes casos, a forma mais comum de produzir um girassol era tendo três conjuntos dispersos. No entanto, é muito complicado encontrar três conjuntos que não se sobreponham no meio de tantos que o fazem.

Foi aqui que entrou em ação a veia da ciência da computação da equipa de investigadores. Para tal, usaram um método anteriormente aplicado para estudar um tipo de programa chamado função booleana.

Através de tudo isto, os cientistas conseguiram provar que (log w)^w conjuntos são suficientes para formar um girassol. Apesar de estar longe de ser um valor concreto, esta nova formulação permite aproximar de uma melhor forma o número e o tamanho dos conjuntos necessários para formar o chamado girassol.

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