Matemáticos avisam os seus colegas para se manterem longe da conjetura de Collatz. No entanto, Terence Tao decidiu arriscar, e está muito perto de resolver aquele que muitos chamam de o problema impossível mais simples do mundo.
A conjetura de Collatz aplica-se a qualquer número natural e diz-nos que, se o número for par, para o dividir por 2, e se for ímpar, para o multiplicar por 3 e somar 1.
Assim sendo, se começarmos, por exemplo pelo número 5, teremos a seguinte sequência: 5; 16; 8; 4; 2; 1. A conjetura defende que, independentemente do número com que se comece, eventualmente a sequência termina em 1.
Se não acredita que é verdade, há até um site que lhe permite testar para ver com os seus próprio olhos.
Segundo o matemático Greg Muller, “os matemáticos suspeitam que solucionar a conjetura de Collatz abrirá novos horizontes e desenvolverá novas e importantes técnicas na teoria dos números”. Já Derek Jennings comenta que “por ser fácil de apresentar e entender, tem potencial de atrair jovens para a matemática”.
Vários foram os especialistas que deixaram o alerta aos matemáticos para se manterem longe deste problema que é capaz de levar qualquer um à loucura. “Este é um problema realmente perigoso. As pessoas ficam obcecadas com ele e realmente é impossível“, avisa Jeffrey Lagarias, matemático da Universidade de Michigan.
No entanto, há sempre uma pessoa que não liga a avisos e esse indivíduo é Terence Tao, matemático de 44 anos. Sozinho, o australiano de ascendência chinesa já fez mais avanços do que qualquer outra pessoa em décadas.
Ainda em setembro deste ano, Tao publicou evidências de que a conjetura de Collatz é “quase” verdadeira” para “quase” todos os números — mas não a prova. De acordo com o site da Quanta Magazine, o próprio assume que não estava à espera de a resolver totalmente.
O ponto de viragem
Tudo mudou quando este ano, em agosto, um utilizador anónimo deixou um comentário no blog de Tao, sugerindo que o matemático tentasse resolver a conjetura de Collatz para “quase todos” os números, em vez de a tentar resolver totalmente. “Ao início não respondi, mas deixou-me a pensar no problema novamente“, explica Tao.
O que Tao concluiu foi que a conjetura de Collatz era semelhante, de certa forma, aos tipos de equações que apareceram em alguns dos resultados mais significativos da sua carreira: as equações diferenciais parciais.
Estas são equações que podem ser usadas para modelar muitos dos processos físicos mais fundamentais do nosso universo. E, se à primeira vista este tipo de equações não teria nada a ver com um problema de aritmética, Tao identificou uma semelhança entre os dois.
Em qualquer equação diferencial parcial, os matemáticos querem saber se alguns dos valores iniciais acabam por levar a valores infinitos ou se uma equação produz sempre valores finitos, independentemente dos valores com que se começa — quase de forma semelhante ao que acontece na conjetura de Collatz.
Foi então que Tao descobriu que podia aplicar uma técnica usada no estudo deste tipo de equações, que poderia ser útil neste problema.
No contexto da conjetura de Collatz, imagine começar com uma grande variedade de números. O objetivo é estudar como é que estes números se comportam quando se aplica o processo usado em Collatz. Se perto de 100% dos números da amostra terminam em 1 ou muito perto, é possível concluir que quase todos os números se comportam desta forma.
No entanto, a dificuldade era escolher cuidadosamente os números da amostra, tal como numa sondagem para umas eleições (por exemplo, com um número equilibrado de pessoas por sexo ou por idade). Nos números acontece a mesma coisa, podendo haver números pares e ímpares e outras características subtis que os diferenciem.
Na sua amostra, Tao excluiu múltiplos de 3, já que o processo usado os elimina rapidamente. Além disso, incluiu números que, divididos por 3, têm um resto de 1 ou 2.
“Ele encontrou uma maneira de continuar o processo, para que, após algumas etapas, você ainda saiba o que está a acontecer”, disse Kannan Soundararajan, matemático da Universidade de Stanford.
Desta forma, Tao concluiu que 99% (ou mais) dos números terminam com um valor próximo de 1. Além disso, números superiores a 1 quadrilião eventualmente atingem um valor abaixo de 200.
Os resultados conseguidos pelo matemático são os mais próximos de provar a conjetura de Collatz alguma vez obtidos por alguém. “Podemos chegar o mais perto possível da conjetura de Collatz, mas ela ainda estará fora do nosso alcance“, reconheceu Tao.
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“…números superiores a 1 quadrilião eventualmente atingem um valor abaixo de 200.”
Esta baralhou-me…
Então se atingem valores abaixo de 200 depois conseguem reduzir-se até 1. Pode implicar mais ou menos operações (dividir por 2 ou multiplicar por 3 e somar 1) mas chega-se sempre lá. Por exemplo o 198 implica 26 operações até chegar a 1.